---

3.3 Kreisbewegung

Die Kreisbewegung kann mithilfe der Kinematik und der Dynamik beschrieben werden. Hier beginnen wir mit der Betrachtung der Bewegung durch die Kinematik und ergründen danach die Ursache dieser Bewegung mithilfe der Dynamik.

Die Kreisbewegung ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Kreisbewegungen werden aber als gleichförmig bezeichnet, wenn der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist. Im Folgenden wird nur die gleichförmige Kreisbewegung betrachtet.

Die Kinematik beschreibt die gleichförmige Kreisbewegung durch die Umlaufzeit \( T \), die Frequenz \( f \), die Bahngeschwindigkeit \( v \), die Winkel- oder auch Drehgeschwindigkeit \( w \) und die Zentripetalbeschleunigung \( a_z \):

Die Umlaufzeit \( T \):
Die Umlaufzeit entspricht der Zeit, die für einen Umlauf benötigt wird.
Formelzeichen: \( T \)
Einheit: \( \lbrack s \rbrack \) (Sekunde) $$ T = \frac{benötigte \space Zeit}{Anzahl \space der \space Umläufe} = \frac{t}{n} $$

Die Frequenz \( f \):
Die Frequenz gibt die Anzahl der Umläufe in einer Sekunde an.
Formelzeichen: \( f \)
Einheit: \( \lbrack \frac{ 1 }{ s } \rbrack = \lbrack Hz \rbrack \) (Hertz) $$ f = \frac{Anzahl \space der \space Umläufe}{benötigte \space Zeit} = \frac{n}{t} $$

Daraus können wir die folgende Beziehung zwischen Frequenz und Umlaufzeit herleiten: $$ f = \frac{1}{T} $$

Die Bahngeschwindigkeit \( v \):
Die Bandgeschwindigkeit ist immer tangential zum Kreis, das heißt sie ist auch immer senkrecht zum Radius. Für die Bewegung heißt das letztendlich, dass sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit in jedem Punkt ändert.
Formelzeichen: \( v \)
Einheit: \( \lbrack \frac{ m }{ s } \rbrack \) (Meter pro Sekunde)
Wie bei der gleichförmigen Bewegung gilt auch hier: $$ \overrightarrow{ v } = \frac{ \Delta \overrightarrow{ s } }{ \Delta t } $$ Für einen Umlauf gilt demnach: $$ v = \frac{ 2 \cdot \pi \cdot r }{ T } = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot f $$

Die Winkel- oder auch Drehgeschwindigkeit \( w \):
Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell ein Winkel in einer Zeit überstrichen wird.
Formelzeichen: \( w \)
Einheit: \( \lbrack \frac{ 1 }{ s } \rbrack \) (Die Einheit Hertz wird nur für die Frequenz genutzt!) $$ w = \frac{ überstrichener \space Winkel }{benötigte Zeit} = \frac{ \Delta \alpha }{ \Delta t } $$ Für einen Umlauf gilt demnach: $$ w = \frac{ 2 \cdot \pi }{ T } = 2 \cdot \pi \cdot f $$

Daraus können wir die folgende Beziehung zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit herleiten: $$ v = w \cdot r $$

Beispiel:
Diese Beziehung kann man recht schön im Alltag beobachten. Bewegen sich zwei Körper mit derselben Winkelgeschwindigkeit, aber auf unterschiedlichen Radien, so ist die Bahngeschwindigkeit des Körpers mit größerem Radius ebenfalls größer. Genau das kann man beispielsweise in einem mehrspurigen Kreisverkehr oder im Karussell beobachten.

Die Zentripetalbeschleunigung \( a_z \):
Die Zentripetalbeschleunigung ist immer zur Kreismitte hingerichtet. Demnach ist sie auch immer senkrecht zur Bahngeschwindigkeit und ändert sich genau wie diese in jedem Punkt.
Formelzeichen: \( a_Z \)
Einheit: \( \lbrack \frac{ m }{ s^2 } \rbrack \) (Meter pro Sekunde-Quadrat) $$ \overrightarrow{ a_Z } = w \cdot v = r \cdot w^2 = \frac{ v^2 }{ r } $$

Nach der Dynamik ist die Ursache für die Kreisbewegung die Zentripetalkraft \( F_Z \):

Die Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung, da permanent eine Kraft wirkt, um einen Körper in die Kreisbewegung zu zwingen. Dies ist die Zentripetalkraft.

Beispiel:
Beim Hammerwerfen zwingt der Athlet den Wurfhammer in eine Kreisbewegung. Lässt der Athlet diesen los, so wirkt die Zentripetalkraft abrupt nicht mehr und der Wurfhammer fliegt tangential bzw. in Richtung der Bahngeschwindigkeit von der Kreisbahn weg.

Die Zentripetalkraft \( F_Z \):
Um die Kreisbahn zu durchlaufen, muss auf einen Körper immer eine zur Kreismitte gerichtete Zentripetalkraft wirken.
Formelzeichen: \( F_Z \)
Einheit: \( \lbrack \frac{ kg \cdot m }{ s^2 } \rbrack = \lbrack N \rbrack \) (Newton) $$ \overrightarrow{ F_Z } = m \cdot r \cdot w^2 = m \cdot \frac{ v^2 }{ r } $$

---

Aufgaben:

1.)
Was geschieht, wenn man die Bahngeschwindigkeit beibehält aber den Radius vergrößert?

• (1)-Es vergrändert sich nichts.
• (2)-Die Winkelgeschwindigkeit wird größer.
• (3)-Die Winkelgeschwindigkeit wird kleiner.

Tipp Nr.1:
Es verändert sich etwas.

Tipp Nr.2:
Betrachte den zurückgelegten Weg und Winkel eines Körpers, der die Kreisbewegung ausführt.

Lösung:
Vergrößert man den Radius, so vergrößert man den Weg der bei gleichem Winkel zurückgelegt werden muss. Folglich wird die Winkelgeschwindigkeit bei gleicher Bahngeschwindigkeit kleiner.

Lösung:

2.)
Eine Festplatte mit dem Radius \( 8,5 cm \) dreht sich \( 5400 \) mal pro Minute. Welche Zentripetalbeschleunigung wirkt auf einen Punkt am Rand der Festplatte.

Tipp Nr.1:
Achte auf die Angabe in Minuten.

Tipp Nr.2:
Berechne vorerst die Frequenz und Bahngeschwindigkeit.

Lösung:
Um die Zentripetalbeschleunigung zu berechnen, werden vorerst die Frequenz und Bahngeschwindigkeit berechnet. $$ f = \frac{n}{t} = \frac{ 5400 }{ 60 s } = 90 Hz $$ $$ v = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot f = 2 \cdot \pi \cdot 0,085 m \cdot 90 Hz \approx 48 \frac{ m }{ s } $$ $$ a_Z = \frac{ v^2 }{ r } = \frac{ ( 48 \frac{ m }{ s } )^2 }{ 0,085 m } \approx 27106 \frac{ m }{ s^2 } $$

Lösung:
\( \frac{ m }{ s^2 } \)

↑ Zurück zum Anfang ↑